最是清欢在数学

AngusA0733

【摘要】数学之味在严谨，在抽象，在运用，更在清欢，其清雅、清淡、恬适、欢愉之味在于，其表面上不可思议，看上去却奇而不怪；感觉上是歪打正着，想想却是合情合理；有时觉得美不胜收，原来是其“心”有所归；有时是“以形助数”，有时却又“以数解形”，数形结合之妙，真是“妙”不可言；不得不叹为观止，还是“数”你最好！最后才发现：一切原来如此——清欢.
【关键词】数学；有味；清欢
人生有味是清欢，最是清欢在数学，人生之乐，或在仕途，或在财富，或在登山临水，或在琴棋诗书，因人而异，不一而足，数学之味在严谨，在抽象，在运用.不知是哪位数学家曾说：数学好玩.什么是数学？借用点的定义（点就是没有部分的那个东西）数学就是最好玩的那个东西.品咂数学，有清欢之味.
1清欢在“思”，不可思议.
1777年的一天，著名的数学家蒲丰忽发奇想，把许多宾朋邀请到家中，做了一个叫人感到奇怪的试验，他把事先画好一条条等距离的平行线的白纸，铺在桌面上，又拿出准备好的质量均匀而长度为平行线距离一半的小针，请客人把小针一根一根的随便地仍在纸上，而蒲丰则在一旁专注观察着记着数，投完后统一计数为：共投2212次，其中与任意平行线相交的有704次，蒲丰又做了一个简单的除法，2212÷704=3142然后宣布：“这就是圆周率的近似值”，所有的宾朋都惊呆了，这简直是不可思议！这就是著名的蒲丰投针试验.1901年，意大利人拉查尼投了3408次，得出估计值是31415929，已很接近祖冲之的密率.数学中，这样的例子很多[1].
2清欢在“原”，原来如此.
记得小时候学数学，老师告诉我们，要记住，1是最小的自然数，到了中学，老师还说，前n个自然数的和是n（n+1）2，可是到我教书的时候，却规定：0是最小的自然数.到底是怎么回事？难道这是随便说的吗？后来读到史宁中先生的文章，才明白什么回事，现今数学界，人们广泛认可的关于自然数的定义，是皮亚诺算数公理体系，这是一个基于内涵的定义，这种定义的出发点是细化了的“大小”关系.自然数是一个一个大起来的.数学家在这种关系中抽象出“后继”的概念，皮亚诺用“后继”的概念定义了自然数.比如，先是有1；称1的后继为2，2比1大1，表示2=1+1；称2的后继为3，3比2大1，表示3=2+1；……通过这样的后继关系，定义了所有的自然数，同时又定义了加法.皮亚诺最初规定自然数是从1开始的，如今，又规定自然数从0开始.因为，如果从1开始，算数公理体系将无法定义出0；如果定义不出0，则无法定义出相反数，进而无法定义负整数；如果不定义负整数，则无法通过加法的逆运算定义出减法.因此，如果没有0，自然数集合就不可能在公理化结构下扩张为整数集合.原来如此[2]！
3清欢在“妙”，“妙”不可言.
欧拉公式更是一个真正的经典，这个公式看上去一目了然，但却深奥得难以置信.它包括五个最重要的数字常数——0（加法恒等元）、1（乘法恒等元）e和π（两个最常见的超越数）以及i（虚数单位）.另外公式还包括三个最基本的算术元算——加法、减法和次方.当代世界数学及其应用研究所的戴维·玻西教授表示：“鉴于e、π与i都非常复杂且看似极不相关，他们能通过这个简洁的公式联系起来真的很惊人.一开始你可能没有意识到他所带来的影响力，这是一个渐近的影响.或许就像听一首乐曲那样，当你了解到乐曲的全部潜能后，突然间它变得非常了不起.”他还说，数学美是“灵感”的源泉，它让你有探索未知事物的熱情[3].
4清欢在“奇”，奇而不怪.
设想用一根仅比赤道周长多出1米的铅丝围成一个同心圆，凭直觉，能否迅速地判断一下：此时我们的拳头能否从赤道与铅丝的空隙穿过？
直观上想，相对于地球赤道而言，增加1米实在微不足道；答案显然是拳头不能从赤道与铅丝的空隙穿过. 相信会有相当一部分同学同意这种看法，但这是错误的.如图，设圆膨胀前的半径为R1米，周长为S1米，膨胀后的半径为R2米，周长为S2=S1+1米，则半径的伸长为R2-R1=S2-S12π=12π≈016（米）.
这是一个常数，拳头完全可以从赤道与铅丝的空隙穿过.同时也说明，大小不等的两个圆，周长增加1米，半径伸长是相同的，直观情景给了我们一个错觉，而数学的理性思维恢复了它的原貌.这就是数学解题，通过推理、论证得出一个符合事实的结论.数学解题促进了数学的理解.
5清欢在“美”，美不胜收.
数学是研究空间形式和数量关系的科学，极其丰富的内容使数学充满了美，它结构的完整、图形的对称、布局的合理、形式的简洁，无不体现出数学中美的因素.著名近代科学家开普勒说：“数学是这个世界之美的原型.”数学美不论从内容上还是形式上一般可分为：严谨美、简洁美、统一美、对称美、整齐美、奇异美等.数学中的许多定理、公式的论证过程，都呈现出简洁美；现实生活中许多现象往往就可以归纳为数学的一个公式、一个方程或一个函数关系式，体现出数学中的统一美，如正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式可以统一为 S=12（C1+C2）h；实系数一元n次方程的虚根成对出现，函数与反函数的图像关于直线y=x 对称，等边三角形、圆、双曲线等图形，都给人一种对称与和谐之美感；在百思不得其解之后，一个巧妙、奇特、新颖的方法跃然而出，内心深处由衷产生的喜悦与冲动，刻骨铭心，这就是数学美的奇异之美.999999999×9999999991+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1=12345678987654321.两岸青山相对出的对称美，浓妆淡抹总相宜的和谐美，塞下秋来风景异的奇异美，看似寻常最奇崛的简洁美，一枝红杏出墙来的数字美，万紫千红总是春的符号美.真是各美其美，美美与共，数学美是理性的美，严肃的美，冷峻的美，圣洁的美，冰清玉洁的美，与那沉鱼落雁、闭月羞花之美有异曲同工之妙美[4].
6清欢在“心”，“心”有所归.
一个普通的三角形，也许让人感受不到它的美，但是，研究可以发现，任意三角形，它的内角和都等于180°，真是奇怪！三条中线交于一点，我们叫它为重心，奇怪的是，三条高、三条边的垂直平分线也交于一点、三个内角平分线也交于一点、三个外角平分线也交于一点，这是奇了怪了，我们分别称之为“垂心”、“外心”、“内心”和“旁心”，当这个三角形为“正三角形”时，他们的所有“心”都合一，如此奇怪、诡异，只能称为“完美”了.高中数学中这样的奇异美，是数不胜数，认真体会，心旷神怡.
7清欢在“歪”，歪打正着.
数学并不一定总是“一本正经”，有时也会耍点无赖.2011年7月7日，全世界有很大影响的两份杂志曾联合邀请全世界的数学家们评选“近50年的最佳数学问题”，其中有一道相当简单的问题：有哪些分数abbc，不合理地把b约去得到ac，结果却是对的？数学家们经过计算，找到了四个分数：1664，2665，1995，4998.这个问题涉及到“运算谬误，结果正确”的歪打正着，在给人惊喜之余，不也展现一种奇异美吗？
还有一些“歪打正着等式”更是奇葩无比
25×92=2592，
25×2531=252531，
112×913=112913[4].
8清欢在“叹”，叹为观止.
有时候，数学是那样的和谐，和谐到让你叹为观止的程度.在球的体积教学中，师生可以共同探讨球的体积公式的推导过程，教师可以根据球的对称性，启发学生先求半球的体积，然后将等底等高的圆柱、圆锥和半球叠加（可以演示三维动画，也可以在黑板画图示意）第一步：先目测体积、猜想估算，很显然，半球的体积在圆锥和圆柱之间，即在13πR3与πR3之间，因为πR3=33πR3，故半球的体积x3πR3，其中分子x为1到3之间的某一个数，介于1到3之间的任何一个数皆有可能，可能是11，可能是15，可能是28……此处可以尽兴地让学生去猜，肯定有的学生会猜想是整数2，此时教师可以及时点拨：“2是1和3之间的唯一整数，且是1和3的等差中项，因此，如果半球的体积等于23πR3，那真是无比美妙的事情，那么结果到底是怎样的呢？”学生的情绪将会一下子高涨起来，恨不得答案就是23πR3，并且能很快推导而出.然后师生共同努力，进行第二步：细沙实验，验证猜想，再通过第三步：用祖暅原理，证明猜想.当最后得出V半球=лR3-13πR3=23πR3的时候，学生欢呼雀跃，充分感受到数学的内在美、和谐美，并叹为观止.此时如果教师即情点化并高声朗诵：“数学，具有至高无上的美，正像雕刻的美，是一种冷而严肃的美，这种美没有绘画或音乐的哪些华丽的装饰，但是却可以纯洁到崇高的地步，能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种完美的境地！……”如此挖掘，美的情景出现了，诗意数学也就产生了[3].
9清欢在“数”，“数”你最好.
毕达哥拉斯说过“万物皆数”，老子也说：“道生一，一生二，二生三，三生万物”.古代哲学家、数学家普罗克拉斯断言：“哪里有数，哪里就有美.”著名哲学家罗素曾说：“数学不但拥有真理而且具有至高无上的美.”古希腊的学者，特别是毕达哥拉斯学派，他们对于自然数的研究有着非凡的想象力.比如，如果一个自然数所含有因数（本身除外）之和恰好等于这个数，那么这个数就是一个完满数，第一个完满数是6，因为其所含的因数1，2，3之和恰好是6.为什么人们喜欢“6”这个数字，六六大顺，原来这里面有如此学问，难怪宗教哲学家奥古斯丁无限制地发展了这个想法，在他的著作《天堂》一书中说：“虽然上帝能够在瞬间创造世界，但为了表现天地万物的完满，他还是用了6天.”他们还把大于1的奇数代表男性，偶数代表女性，因为5是第一个男性数与女性数之和，因此，5象征男女的结合，难怪有新人结婚，门对上常有“福来是五”的词句.世界上最神奇的数字是：142857.据说它发现于埃及金字塔内，它是一组神奇数字：142857×1=142857；142857×2=285714；142857×3=428571；142857×4=571428；142857×5=714285；142857×6=857142.同样数字调换了位置反复出现.那么把它乘与7是多少呢？我们会惊人的发现是999999 ，真是不可思议[2].
将数字入诗，数字入联，则别具韵味.“一去二三里，烟村四五家，亭台六七座，八九十枝花.”这是宋代邵雍描写旅程景物的诗，共20个字，把10个数字全用上了.这首诗用数字反映远近，村落，亭台和花，通俗易懂、脍炙人口而妙不可言.“一片两片三四片，五六七八九十片，千片万片无数片，飞入梅花总不见.”郑板桥的《咏雪》全诗几乎都是用数字堆砌起来的，从一至十至千至万至无数，却丝毫没有累赘之嫌，读之使人宛如置身于广袤天地大雪纷飞之中，但见一剪寒梅傲立雪中，斗寒吐妍，雪花融入了梅花，人融入其中也乐在其中.杜甫的“两个黄鹂鸣翠柳，一行白鹭上青天.窗含西岭千秋雪，门泊东吴万里船”，同样脍炙人口，数字深化了时空意境.他还有“霜皮溜雨四十围，黛色参天二千尺”，“青松恨不高千尺，恶竹应须斩万竿”等，表现出强烈的夸张和爱憎.柳宗元的“千山鸟飞绝，万径人踪灭.孤舟蓑笠翁，独钓寒江雪”，数字具有尖锐的对比和衬托作用.岳飞的“三十功名尘与土，八千里路云和月”，陆游的“三万里河东入海，五千仞岳上摩天”，同样是壮怀激烈的[3].
10清欢在“形”，“形”上而学.
圆桂和其内切球是一个几何体，本没有什么了不起，可是有一个数学家却非常“看重”它，并且把它刻在他的墓碑上，人们探访他，就是按照这个几何图形，因为他的墓碑上没有任何文字，在教学“圆柱的体积”这课时，我讲到了这个故事，许多同学兴趣盎然，我告诉学生，这个人是一个大数学家，他的名字叫阿基米德，就是发现浮力定理的那个人，我们应当在“形”上而学.怎么学，大家可以计算一下圆柱和它的内切球的表面积和体积，再计算一下它们的比值，真是因为比值都是3∶2，所以，才有那先前的故事.从形上而学，不失为一种学习方法.初中都学过三角形的内角和等于180°，四边形的内角和是360°，五边形的内角和是540°，n边形的内角和是（n-2）180°，许多人包括数学家们，证明了三角形的内角和是180°是那么的得意，并且许多“数学人”乐此不疲，好像还神神秘秘.如果单从结果而论，真的没有必要.其实，所有多边形的外角和都是360°，因为就是旋转了一周，一个外角和一个内角之和是180°，所以，n边形的内角和就是n×180°-360°=（n-2）×180°，n=3，那么三角形内角之和不就是180°吗？如此而已.不从过程来论，换一个角度，从图形入手，从外围入手，就是转一圈而已，那些“数学人”的孜孜追求真是“形而上学”.数学包含数和形，难怪笛卡尔将代数与几何相结合创造了解析几何，黎曼将微分与几何相结合，创造了微分几何，两者兼容并包.
真是“清欢数学味：思原奇妙美，心歪叹数形，品咂却能醉”.
参考文献
[1]刘权华.数学故事数学教学的有效资源[J].江苏教育与研究，2015（7A/8A）： 102-106.
[2]史宁中.数学基本思想18讲[M].北京：北京师范大学出版集团，17-45.
[3]刘权华.最是那“冰清玉洁”数学美[J].教育研究与评论，2014（6）：60-63.
[4]肖林元，刘权华等.如何高效學数学[M].北京：机械工业出版社，18-31.
作者简介刘权华（1967—），男，籍贯江苏盱眙，南京市教育科学研究所，科研员，中学数学高级教师，教育硕士，南京市高中数学学科带头人，江苏省“333”高层次人才工程中青年科学技术带头人，发表教育教学论文50余篇.主要研究方向：高中数学教育教学，教师发展研究.